【物理数学】初等的な微分計算

2019 4/13
【物理数学】初等的な微分計算
目次

背景

私は一応、大学では、物理学を専攻し、その後学歴ロンダリングをして、国内トップクラスの大学で博士号をゲットしている。

なので、その経歴を生かして、少しでも世の中に物理、数学を広められたらいいかなと。

というのも最近は会社内での数理リテラシーの低さに困惑している。数式を少しでも出すとみなさんの動きが止まり、議論ができなくなる。。。これを少しでも改善できたらと思い、物理、数学(数学科にしてみたら算数だが)を普及できたらいいかなと思う。

何をどうやったらいいかと考えた時、大学時代のノードを発見。

ひとまず、これをなぞっていきたいと考えている。

このノートは当時の私が、将来の私に対して、途中計算もできる限り記述したものだった。

当時から途中計算のある資料(教科書、HPページ、など)がなく、困っていたので、私と同じ様に困っている現在の学生に少しでも役に立てられたら嬉しいです。

なぜ微分計算か

物理を学ぶにはやはり最初に、道具である数学(その中でも物理でよく使う物理数学)を使える様にしないといけない。

もっとも物理学で一般的にもっとも重要な数学として扱われているのは微積分であることから、今回は最初の一歩として基礎の微分について私なりに書いてみたいと思う。

そもそもなぜ物理学に微分、積分が必要でそれはなんなんなのか、というベースの疑問はあるかもしれないが、それは他のWebページにお任せしたい。ここでは単に「物理学は、連続的な出来事を、瞬間、瞬間の出来事として捉えて説明する学問で、その結果において実験事実と一致することが正であるとしている」とだけ。

微分の定義

まずそもそもの微分の定義は下記となっている。

$$y=f(x)$$

を\(x\)で微分することは次のように表現し、定義されている。

$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

これが微分の基本である。

ここから全ての(常)微分が導ける。

微分導出の例<1>

$$y=x^2$$

この微分は高校で習っているので、すぐに答えが

$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = 2x$$

だっていうのがわかると思うが、それを微分の定義から証明してみたいと思う。

微分の定義通りに書き出してみるとすぐに正解にたどり着ける。

$$
\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} \\
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2 – x^2}{\Delta x} \\
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2 – x^2}{\Delta x}
$$

ここで、\(\Delta x^2\)は、\(x^2\)や\(2x\Delta x\)に対して無視できるくらい小さいとすると、

$$
\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^2 + 2x\Delta x – x^2}{\Delta x} \\
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x}{\Delta x} \\
= 2x
$$

微分導出の例<2>

$$y=\log x$$

この微分を求める。

微分の定義式へ代入する。

$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} \\
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\log (x+\Delta x) – \log x}{\Delta x} \\
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}\log \frac{x + \Delta x}{x} \\
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}\log \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right)$$

はてされ、これ以上はどうやったらいいのか。。。この

$$\lim_{\Delta x \to 0}\left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right)$$

という形がどこかでみたことのある形だってことを思い出せば良い。

そう、それは\(e\)の定義である。

$$e\equiv \lim_{t\to 0}\left( 1+t \right)^\frac{1}{t}$$

これが利用できる様に式を変形してみる。

$$
\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{x}\frac{x}{\Delta x}\log \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right) \\
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{x} \log \left( 1+\frac{\Delta x}{x} \right)^\frac{x}{\Delta x} \\
= \frac{1}{x} \log e \\
= \frac{1}{x}
$$

上記を理解した上で、結果を暗記すべき微分

\(y=x^a\)\(\Rightarrow\)\( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = ax^{a-1} \)
\( y=\log x \)\(\Rightarrow\)\( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{1}{x} \)
\( y=\sin x \)\(\Rightarrow\)\( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \cos x \)
\( y=\cos x \)\(\Rightarrow\)\( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = -\sin x \)
\( y=\tan x \)\(\Rightarrow\)\( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{1}{\cos^2 x} \)
\( y=e^x \)\(\Rightarrow\)\( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = e^x \)

これらを証明するのは結構実は面倒なので、今度暇があった時に。

最後に

この記事を始めての記事として、どんどん物理数学、物理の記事を書いていけたらいいかなと思う。大学のノートに感謝しながら。

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