Maxwell方程式から、波動方程式=電磁波方程式を導出

電磁気学の基礎方程式であるMaxwell方程式から波動方程式を導出してみます。

さらに次の記事では、この結果を使ってz軸に伝搬するGausian beamを導いて、その性質をみてみたいと思っています。

はじめに

現代科学では、レーザーを使うことが少なくない。

レーザーを使って微小な動きを測定したり、ピンセットとして原子を掴んだり、もっと工学的な分野では例えば物の切断にも使われています。

このレーザーの中でも、強度分布が光軸中心から外に向かって次第に減っていくGaussian beamというのがよく使われています。

最終的にはGaussian beamを導くのを目的に、まずはMaxwell方程式から波動方程式を導出します。

Maxwell方程式を受け入れれば、結構、簡単です。

Maxwell方程式

まず、一般的なMaxwell方程式を下記に記します。

$$\begin{align} \nabla\cdot\vec{D}(t, \vec{x}) &= \rho(t,\vec{x}) \\ \nabla\cdot\vec{B}(t, \vec{x}) &= 0 \\ \nabla\times\vec{E}(t, \vec{x}) &= -\frac{\partial \vec{B}(t, \vec{x})}{\partial t} \\ \nabla\times\vec{H}(t, \vec{x}) &= \frac{\partial \vec{D}(t, \vec{x})}{\partial t} + \vec{j}(t, \vec{x}) \end{align}$$

ここで、$\vec{E}$ は電場の強度、$\vec{B}$ は磁束密度、$\vec{D}$ は電束密度、$\vec{H}$ は磁場の強度です。

これを真空の場合に書くと、

$$\begin{align} \vec{D} &= \epsilon_0\vec{E} \\ \vec{H} &= \frac{1}{\mu_0}\vec{B} \\ \rho &= 0 \\ \vec{j} &= 0 \end{align}$$

から、次のようになります。

$$\begin{align} \nabla\cdot\vec{E}(t, \vec{x}) &= 0 \ \ \ \ (1)\\ \nabla\cdot\vec{B}(t, \vec{x}) &= 0 \ \ \ \ (2)\\ \nabla\times\vec{E}(t, \vec{x}) &= -\frac{\partial \vec{B}(t, \vec{x})}{\partial t} \ \ \ \ (3)\\ \nabla\times\vec{B}(t, \vec{x}) &= \epsilon_0\mu_0\frac{\partial \vec{E}(t, \vec{x})}{\partial t} \ \ \ \ (4) \end{align}$$

これが真空中でのMaxwell方程式となります。
ここで真空中を考えた理由は、真空中を考えると式が簡単になるからで、いわば近似です。

ベクトル演算の公式

ここで下記で使用するベクトル演算の公式を1つ紹介します。

$$\nabla\times\nabla\times\vec{V} = \nabla(\nabla\cdot\vec{V})-\nabla^2\vec{V}$$

これの証明は面倒なので気になる方はgoogle先生に聞いてみてください。

真空中のMaxwell方程式からの式変形で波動方程式を得る

ここから、真空中のMaxwell方程式と上記のベクトル演算の方程式を元に、波動方程式を導きます。

波動方程式とは、「波」を表す方程式で、この方程式の形をとるような場合には空間的に、時間的に波のような性質を持ちます。

波動方程式は下記のような形です。

$$\left( \nabla^2 – \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\vec{V} = 0$$

$\vec{V}$ や$\vec{V}$ がこの形になれば、波動として伝わっていることになります。

簡単です。

電場について

とりあえず$\nabla\times\nabla\times\vec{E}$ を計算してみる。

Maxwell方程式の式(3)と式(4)から

$$\begin{align} \nabla\times\nabla\times\vec{E} &= \nabla\times\left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B}) \\ &= -\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \end{align}$$

となる一方で、前述のベクトル公式によって次のようにも計算できます。

$$\begin{align} \nabla\times\nabla\times\vec{E} &= \nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^2\vec{E} \\ &= -\nabla^2\vec{E} \end{align}$$

ここではMaxwell方程式の式(1)も利用した。

この2式の左辺は$\nabla\times\nabla\times\vec{E}$ で同じなので、次の式が成り立つことになります。

$$\nabla^2\vec{E} = \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \\ \rightarrow \left( \nabla^2 – \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \vec{E} = 0$$

これはまさに波動方程式ですね。

磁場について

同様に$\vec{B}$ についても式変形してみます。

$$\begin{align} \nabla\times\nabla\times\vec{B} &= \nabla\times\left( \epsilon_0\mu_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) \\ &= \epsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{E}) \\ &= -\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{align}$$

と

$$\begin{align} \nabla\times\nabla\times\vec{B} &= \nabla(\nabla\cdot\vec{B})-\nabla^2\vec{B} \\ &= -\nabla^2\vec{B} \end{align}$$

から

$$\nabla^2\vec{B} = \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \\ \rightarrow \left( \nabla^2 – \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \vec{B} = 0$$

まとめ

以上のように、真空のMaxwell方程式から次のような電場・磁場の伝搬の方程式が得られました。

$$\left( \nabla^2 – \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \vec{E} = 0 \\ \left( \nabla^2 – \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \vec{B} = 0$$

前述の波動方程式と比較すると、この波の伝搬速度は、$\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}$ であることがわかります。

これはすなわち光速になります。