【物理数学】初等的な積分計算(Gauss積分)

背景

前回は微分について、少し書いたが、今回は積分について書いてみようとなんとなく思った。

しかも手っ取り早く導出ができるGauss積分を。というのもこれを書いている今、まゆみ様とまほちゃんは公園に行っていて、その間に1記事書けとのお言葉があったので。

導きたい積分計算の結果

$$
I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}{\rm d}x=\sqrt{\pi}
$$

これが言わずと知れたGauss積分(ガウス積分)で、物理ではよく出てくる形の積分である。

今日はこれを導く。

導出

まず\( x^2 \)という形から、極座標の利用を考える。

そのためには極座標系の\( r \)を使える様に\( I \)の2乗を考える。

$$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}{\rm d}x \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}{\rm d}y \\
=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}{\rm d}x{\rm d}y$$

これを極座標\( r, \theta \)で表す。

極座標とデカルト座標の関係性は次の様になっている。

$$x^2+y^2=r^2$$

$${\rm d}x{\rm d}y = r{\rm d}r{\rm d}\theta$$

これらを使用すると上記の\( I^2 \)は次の様に変形されていく。

$$ I^2 = \int_{0}^{\infty} re^{-r^2} {\rm d}r \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta \\
= 2\pi\int_0^{\infty}re^{-r^2}{\rm d}r
$$

ここで次の様に変数変換を行う。

$$u=r^2\\
{\rm d}u=2r{\rm d}r$$

すると、

$$I^2=2\pi\int_0^{\infty}re^{-u}\frac{1}{2r}{\rm d}u \\
= \pi \int_0^{\infty} e^{-u} {\rm d}u \\
= \pi(-1)\left[ e^{-u} \right]_{u=0}^{u=\infty} \\
= \pi
$$

よって、

$$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}{\rm d}x=\sqrt{\pi}$$

さらにちょっとだけ応用

上記を応用した積分

$$I_2=\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}{\rm d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \qquad (a>0)$$

を証明しておく。

方法は簡単で、変数変換を行ってGauss積分を適応すれば良い。

$$y=\sqrt{a}x$$

とすると、

$${\rm d}x = \frac{{\rm d}y}{\sqrt{a}} $$

これを代入すると、

$$I_2 = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}{\rm d}y \\
=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

ここで前述のGauss積分を使用した。

さらにさらにちょっとだけ応用

上記の結果を利用すると次の様な積分が計算できる。

$$I_3=\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}{\rm d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^3}} $$

これを示す。\( I_2 \)の式を利用する。

$$I_2=\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}{\rm d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \qquad (a>0)$$

これを\( a \)の関数だと思って、\( a \)で微分すると、

$$\int_{-\infty}^\infty (-x^2) e^{-ax^2}{\rm d}x=-\frac{1}{2}a^{-\frac{3}{2}}\sqrt{\pi}$$

よって、

$$I_3=\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}{\rm d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^3}} $$